波以松模型怎麼算足球比分機率？從進失球數據到勝平負

為什麼足球適合用波以松

足球一場比賽進球不多，而且每次進攻能不能得分，很像許多次「小機率事件」的累積。統計上，這種「一段時間內發生幾次」的次數，常用波以松分布（Poisson distribution）來描述。只要知道一支球隊這場「平均預期進幾球」，就能算出它進 0 球、1 球、2 球……各自的機率。

這是很多足球數據網站計算比分機率的起點，概念不難，只需要進球與失球紀錄。

先算整個聯賽的平均：例如本季主隊平均每場進 1.5 球、客隊平均每場進 1.2 球。再看單一球隊：

數字大於 1 代表比聯賽平均強（攻擊）或弱（防守），小於 1 則相反。客隊的攻擊力與主隊的防守力，用同樣方式以客隊場均進球為基準計算。

把三個數字相乘，就是這場的預期進球：

主隊預期進球＝主隊攻擊力 × 客隊防守力 × 聯賽主隊場均進球

舉例：主隊攻擊力 1.3、客隊防守力 1.1、聯賽主隊場均 1.5，主隊預期進球＝ 1.3 × 1.1 × 1.5 ≈ 2.1。客隊用同樣方式算出，例如 0.9。

有了預期進球 λ，進 k 球的機率是 e^(−λ) × λ^k ÷ k!。以 λ＝2.1 為例，主隊進 0 球約 12%、1 球約 26%、2 球約 27%、3 球約 19%。

把主隊和客隊各進幾球的機率相乘，就得到每個比分的機率，例如 2-0、2-1、1-1。把所有「主隊進球比客隊多」的比分加起來就是主勝機率，相等的加起來是和局機率，其餘是客勝機率。同樣的表格也能算出總進球大於 2.5 球、兩隊都進球的機率。

假設兩隊進球互相獨立：實際比賽中，落後的一方會壓上，領先的一方會收縮，所以這個模型通常會低估和局，進階版本（例如 Dixon-Coles 修正）會調整低比分的機率。
沒有考慮傷兵、輪換、賽程密度：數字只反映過去的進失球。
季初樣本太少：只踢三、四場時，攻防力很容易失真，常見做法是混合上季數據。

所以波以松模型適合當成「依數據來看的參考」，不是預言。進失球的紀錄可以在各聯賽積分榜查到，例如英超積分榜；想知道進球機會品質，可以搭配看 xG 是什麼。